Sottospazi Vettoriali¶
Vediamo come individuare i sottospazi di uno spazio vettoriale e perché ne preservano la struttura.
Axio
Pensa ai sottospazi come a piccoli mondi con le stesse regole del grande universo \(V\)!
Un sottoinsieme \(W \subseteq V\) è un sottospazio se:
- \(v,w\in W \implies v+w \in W\).
- \(v\in W\), \(c\in\mathbb{K} \implies cv\in W\).
- \(O \in W\).
Anche \(W\) con queste operazioni è uno spazio vettoriale.
Esempi¶
Spazi di funzioni¶
Sia \(S\) un insieme. L'insieme di tutte le funzioni \(f:S\to\mathbb{K}\) è uno spazio vettoriale con
\[
(f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (cf)(x)=c\,f(x).
\]
L'elemento neutro è la funzione zero \(f(x)=0\).
Intersezione di sottospazi¶
Se \(U\) e \(W\) sono sottospazi di \(V\), allora \(U\cap W\) è un sottospazio di \(V\).
Somma di sottospazi¶
Per \(U\) e \(W\) sottospazi di \(V\) definiamo
\[
U+W=\{u+w\mid u\in U,\,w\in W\},
\]
che è ancora un sottospazio di \(V\).
Aggiornamenti
Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.