Definizioni e Proprietà

Introduciamo la definizione formale di spazio vettoriale e le proprietà che regolano le sue operazioni.

Uno spazio vettoriale è una struttura \((V,+,\cdot)\) definita su un campo \(\mathbb{K}\) dotata di due operazioni:

\[ + : V \times V \to V \]

\[ \cdot : \mathbb{K} \times V \to V \]

Le operazioni rispettano le seguenti proprietà:

Axio

Tieni a mente queste leggi: sono la base per comprendere tutti gli spazi vettoriali!

1. Associatività della somma: per ogni \(u,v,w\in V\),

\[ (u+v)+w = u+(v+w) \]

1. Elemento neutro della somma: esiste \(O\in V\) tale che

\[ O+v = v+O = v \]

1. Inverso additivo: per ogni \(v\in V\) esiste \(-v\in V\) con

\[ v+(-v)=O \]

1. Commutatività della somma: per ogni \(v,w\in V\),

\[ v+w=w+v \]

1. Distributività rispetto agli scalari: per ogni \(c\in\mathbb{K}\) e \(u,v\in V\),

\[ c(u+v)=cu+cv \]

1. Distributività degli scalari: per ogni \(a,b\in\mathbb{K}\) e \(v\in V\),

\[ (a+b)v=av+bv \]

1. Associatività del prodotto per scalare: per ogni \(a,b\in\mathbb{K}\) e \(v\in V\),

\[ (ab)v=a(bv) \]

1. Elemento neutro del prodotto per scalare: per ogni \(v\in V\),

\[ 1\cdot v = v \]

Esempio: \(\mathbb{K}^n\)

Le \(n\)-uple di elementi di \(\mathbb{K}\) formano uno spazio vettoriale. Se

\[ A=(a_1,\dots,a_n), \qquad B=(b_1,\dots,b_n), \]

allora

\[ A+B=(a_1+b_1,\dots,a_n+b_n), \qquad cA=(ca_1,\dots,ca_n). \]

Il vettore nullo è \((0,\dots,0)\).

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Aggiornamenti

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Eliminati i blocchi di codice e uniformata la formattazione delle formule.