Combinazioni Lineari e Dipendenza

Scopriamo come combinare vettori e distinguere tra dipendenza e indipendenza lineare.

Axio

Prova a giocare con esempi concreti: aiutano a intuire quando i vettori collaborano o si annullano!

Dati vettori \(v_1,\dots,v_n\in V\) e scalari \(x_1,\dots,x_n\in\mathbb{K}\), una combinazione lineare è

\[ x_1v_1+\dots+x_nv_n. \]

I vettori \(v_1,\dots,v_n\) sono linearmente dipendenti se esistono scalari \(a_1,\dots,a_n\), non tutti nulli, tali che

\[ a_1v_1+\dots+a_nv_n = O. \]

Sono linearmente indipendenti se la relazione precedente implica \(a_1=\dots=a_n=0\).

Esempio

Le funzioni \(e^t\) ed \(e^{2t}\) sono indipendenti. Supponendo

\[ ae^{t}+be^{2t}=0, \]

derivando otteniamo

\[ ae^{t}+2be^{2t}=0. \]

Sottraendo le due relazioni:

\[ 2be^{2t}=0 \Rightarrow b=0, \]

e quindi \(a=0\).

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Aggiornamenti

Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.