Rango e Riduzione di Gauss¶

Approfondiamo come i sistemi lineari si risolvono tramite la riduzione di Gauss e come il concetto di rango descriva la dimensione dello spazio delle soluzioni.

Axio

Riduci passo dopo passo: ogni pivot ti avvicina alla soluzione!

Dimensione dello Span¶

Dato un insieme di vettori \(v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R}^n\), la dimensione del loro span è pari al numero di vettori linearmente indipendenti. Disporre i \(v_i\) come colonne di una matrice e ridurla a scala permette di individuarli tramite i pivot.

Iperpiani¶

Un iperpiano in \(\mathbb{R}^n\) è l'insieme

\[ W=\{x\in\mathbb{R}^n\mid a_1x_1+\dots+a_nx_n=0\} \]

dove \(a_1,\dots,a_n\) non sono tutti nulli. Questo spazio ha dimensione \(n-1\). L'intersezione di più iperpiani si ottiene risolvendo il sistema lineare corrispondente e ha dimensione \(n-r\), dove \(r\) è il numero di pivot nella matrice a scala associata.

Riduzione di Gauss¶

Per risolvere un sistema si applicano alla matrice completa le operazioni elementari sulle righe:

scambio di due righe;
addizione a una riga di un multiplo di un'altra;
moltiplicazione di una riga per un numero non nullo.

Queste operazioni non alterano l'insieme delle soluzioni. Applicandole si ottiene una matrice a scala (row echelon form, REF), in cui i pivot di ogni riga compaiono in colonne sempre più a destra. Proseguendo con le operazioni si possono annullare gli elementi sopra i pivot e normalizzare questi ultimi, ottenendo la matrice a scala ridotta (reduced row echelon form, RREF).

Una matrice ridotta a scala assume quindi la forma

\[ \begin{pmatrix} \color{red}{1} & * & \dots & * & * \\ 0 & \color{red}{1} & \dots & * & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \color{red}{1} & * \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

dove i pivot sono evidenziati in rosso e gli \(*\) rappresentano elementi arbitrari.

Esempio:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & \pi\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Risolvendo dal basso verso l'alto si ricavano \(x_5=x_4=x_3=x_1=0\) lasciando \(x_2\) libero. Lo spazio delle soluzioni ha quindi dimensione \(1\).

Rango per Righe e per Colonne¶

Per una matrice \(A\) con righe \(A_1,\dots,A_k\in\mathbb{R}^n\) il rango per righe è

\[ \operatorname{rk}_r(A)=\dim\operatorname{Span}(A_1,\dots,A_k). \]

Se \(C_1,\dots,C_n\in\mathbb{R}^k\) sono le colonne di \(A\), il rango per colonne è

\[ \operatorname{rk}_c(A)=\dim\operatorname{Span}(C_1,\dots,C_n). \]

Si dimostra che \(\operatorname{rk}_r(A)=\operatorname{rk}_c(A)\); il valore comune è il rango di \(A\).

Le operazioni elementari non modificano il rango, e la riduzione di Gauss produce una matrice a scala \(S\) con lo stesso rango. Il numero di pivot di \(S\) coincide con \(\operatorname{rk}_r(A)\) e fornisce la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo \(AX=0\) come \(n-r\).

Sistemi non Omogenei e Teorema di Rouché-Capelli¶

Per un sistema \(AX=b\) si considera la matrice completa \(\widetilde{A}=(A\mid b)\) e la si riduce a scala tramite le operazioni elementari.

Teorema (Rouché‑Capelli). Il sistema è risolubile se e solo se

\[ \operatorname{rk}_r(\widetilde{A})=\operatorname{rk}_r(A). \]

Quando esiste una soluzione \(X_0\), tutte le soluzioni sono della forma

\[ X=X_0+Y, \qquad Y\in\ker A. \]

Dimostrazione¶

Riduzione a scala
Applichiamo operazioni elementari sulle righe sia ad \(A\) che a \(\widetilde{A}=(A\mid b)\). Poiché queste operazioni preservano il rango, possiamo assumere entrambe in forma a scala ridotta.
Caso compatibile ⇒ ranghi uguali
Se il sistema è compatibile, non compare alcuna riga del tipo

\[ (0\ \dots\ 0 \mid c) \quad \text{con } c \neq 0 \]

Questo implica che \(b\) è combinazione lineare delle colonne di \(A\) e la colonna aggiunta non aumenta il rango:

\[ \operatorname{rk}_r(\widetilde{A})=\operatorname{rk}_r(A). \]

Caso ranghi uguali ⇒ compatibile
Se i ranghi coincidono, la colonna \(b\) è combinazione lineare delle colonne di \(A\). Esiste quindi \(X\) tale che \(AX=b\), e il sistema è risolubile.
Caso ranghi diversi ⇒ incompatibile
Se \(\operatorname{rk}_r(\widetilde{A})>\operatorname{rk}_r(A)\), comparirà una riga

\[ (0\ \dots\ 0 \mid c) \quad \text{con } c \neq 0, \]

che rappresenta l'equazione impossibile \(0=c\). Il sistema è quindi incompatibile.

Conclusione
Il sistema \(AX=b\) è compatibile se e solo se i ranghi coincidono:

\[ \operatorname{rk}_r(A)=\operatorname{rk}_r(\widetilde{A}). \]

Axio

Se i ranghi sono uguali, puoi cercare le soluzioni! Altrimenti, Axio ti ricorda che qualcosa non torna.

Aggiornamenti

Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.