Moltiplicazione tra Matrici¶

La moltiplicazione tra matrici consente di comporre trasformazioni lineari e di analizzare come si combinano più operazioni. In questa pagina ne presentiamo la definizione e le proprietà fondamentali, come associatività e distributività, ricordando che in generale non è commutativa.

1. Definizione¶

Siano

\[ A \in M_{m \times n}(\mathbb{K}), \quad B \in M_{n \times p}(\mathbb{K}) \]

due matrici tali che il numero di colonne di \(A\) coincida con il numero di righe di \(B\).
Allora il prodotto

\[ C = A \cdot B \]

è definito come la matrice

\[ C \in M_{m \times p}(\mathbb{K}) \]

i cui elementi sono:

\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj} \]

per ogni \( i = 1, \dots, m \) e \( j = 1, \dots, p \).

2. Interpretazione¶

Ogni elemento \( c_{ij} \) è ottenuto moltiplicando riga \(i\) di \(A\) per colonna \(j\) di \(B\) e sommando i prodotti.
In generale non è commutativa: \(A \cdot B \neq B \cdot A\) nella maggior parte dei casi.
Visto come composizione di applicazioni lineari: se \(A\) rappresenta \(f: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m\) e \(B\) rappresenta \(g: \mathbb{K}^p \to \mathbb{K}^n\), allora \(A \cdot B\) rappresenta \(f \circ g\).

Axio

Ogni elemento \(c_{ij}\) è il prodotto scalare tra la riga \(i\) di \(A\) e la colonna \(j\) di \(B\):

\[ c_{ij} = \langle \text{riga}_i(A), \, \text{colonna}_j(B) \rangle \]

Tuttavia, la moltiplicazione di matrici **nel suo insieme** non è un unico prodotto scalare, ma un insieme organizzato di tanti prodotti scalari.

Axio

Se \(A\) è una matrice \(m \times n\) e vale

\[ A X = 0 \quad \forall\, X \in \mathbb{K}^n \]

allora \(A = 0\).

💡 *Dimostrazione rapida*: prova \(X = e_j\) (base canonica), ottieni che ogni colonna di \(A\) è nulla ⇒ \(A\) è nulla.

Il caso duale: se

\[ Y^\top A = 0 \quad \forall\, Y \in \mathbb{K}^m \]

allora \(A\) è nulla (tutte le righe nulle).

Axio

Nella moltiplicazione di matrici non vale:

\[ A \cdot B = 0 \ \Rightarrow\ A=0 \ \text{o}\ B=0 \]

Esempio:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

entrambi non nulli, ma \(A \cdot B = 0\).

3. Esempio di moltiplicazione¶

Siano

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]

\(A\) è \(2 \times 3\), \(B\) è \(3 \times 2\) ⇒ il prodotto è \(2 \times 2\).

Calcolo:

\[ \begin{aligned} c_{11} &= 2\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 2 = 2 \\ c_{12} &= 2\cdot 4 + 1\cdot (-1) + 0\cdot 3 = 7 \\ c_{21} &= (-1)\cdot 1 + 3\cdot 0 + 2\cdot 2 = 3 \\ c_{22} &= (-1)\cdot 4 + 3\cdot (-1) + 2\cdot 3 = -1 \end{aligned} \]

Risultato:

\[ A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \]

4. Invertibilità e inversa¶

Per le proprietà dell'inversa consulta la pagina dedicata.

Aggiornamenti

2025-08-10: Sistemata la formattazione generale della pagina.
2025-08-10: Aggiunta un'introduzione che illustra scopo e proprietà principali della moltiplicazione tra matrici.
2025-08-09: Eliminati i blocchi di codice e sistemata la formattazione delle formule.