Determinante¶
Introduciamo il determinante, un numero associato a ogni matrice quadrata che misura orientamento e volume.
Proprietà fondamentali¶
- Il determinante è multilineare rispetto alle righe e cambia segno scambiando due righe.
- Se due righe sono proporzionali, il determinante è nullo.
- Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla diagonale.
\[
\det(A) = a_{11} \cdots a_{nn}
\]
Calcolo¶
Per una matrice \(2 \times 2\) il determinante è
\[
\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc
\]
Per una matrice \(3 \times 3\) possiamo usare la regola di Sarrus:
\[
\det \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
\]
Più in generale, lo sviluppo di Laplace lungo la riga \(i\) fornisce
\[
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(M_{ij})
\]
dove \(M_{ij}\) è la matrice ottenuta eliminando la riga \(i\) e la colonna \(j\).
Axio
Scomponi la matrice con qualche zero: il calcolo del determinante diventa un gioco da ragazzi!
Aggiornamenti
Data: 2024-10-06 Breve descrizione: Creata pagina introduttiva sul determinante.