Teoremi sulle Basi¶
Raccogliamo alcuni risultati utili per manipolare le basi e comprendere la dimensione.
Insiemi massimali¶
Un insieme \(\{v_1,\dots,v_r\}\subseteq V\) è massimale se ogni altro \(v_i\) con \(i>r\) rende dipendente l'insieme \(\{v_1,\dots,v_r,v_i\}\).
Per un ripasso su combinazioni lineari consulta Combinazioni Lineari e Dipendenza; per lo span vedi Span.
Axio
Pensa a quali vettori sono davvero indispensabili: quelli superflui appesantiscono solo il bagaglio!
Teorema¶
Se \(\{v_1,\dots,v_n\}\) genera \(V\) e \(\{v_1,\dots,v_r\}\) è massimale e indipendente, allora \(\{v_1,\dots,v_r\}\) è una base di \(V\).
Dimostrazione.
Poiché l'insieme è massimale e indipendente, per ogni \(j>r\) l'insieme \(\{v_1,\dots,v_r,v_j\}\) è dipendente. Esistono quindi coefficienti \(\alpha_i\) tali che
Ogni \(v_j\) con \(j>r\) appartiene allo span dei primi \(r\) vettori. Siccome \(\{v_1,\dots,v_n\}\) genera \(V\), ogni vettore \(v\in V\) è combinazione lineare dei \(v_j\) e dunque dei soli \(v_1,\dots,v_r\). L'insieme \(\{v_1,\dots,v_r\}\) genera quindi \(V\) ed è una base.
Dimensione¶
Ogni base di \(V\) ha lo stesso numero di elementi. Perciò possiamo definire la dimensione di \(V\) come il numero di vettori di una qualunque base.
Dimostrazione.
Siano \(B\) e \(C\) due basi di \(V\). L'insieme \(B\) è indipendente e \(C\) genera \(V\), quindi la massimalità di \(B\) implica
Scambiando i ruoli, otteniamo anche
e concludiamo
Dipendenza in spazi finiti¶
Se \(\{w_1,\dots,w_n\}\subseteq V\) con \(n>m\) e \(\dim V = m\), allora i \(w_i\) sono dipendenti.
Dimostrazione. Un insieme indipendente non può avere più di \(m\) elementi: altrimenti costituirebbe una base in contrasto con la definizione di dimensione. Pertanto l'insieme dato è dipendente.
Lemma di scambio di Steinitz¶
Sia \(V\) finito-dimensionale. Se \(\{x_1,\dots,x_r\}\) è un insieme indipendente e \(\{y_1,\dots,y_s\}\) genera \(V\), allora \(r\le s\) e, rietichettando se necessario, esistono indici distinti \(j_1,\dots,j_r\) tali che
In altre parole, possiamo scambiare \(r\) vettori del sistema generatore con gli \(x_i\) mantenendo un insieme che genera \(V\).
Dimostrazione (breve).
Procediamo per induzione su \(r\). Per \(r=0\) non c'è nulla da dimostrare. Supponiamo vero per \(r-1\) e considera \(x_1,\dots,x_r\) indipendenti e \(Y=\{y_1,\dots,y_s\}\) che genera \(V\). Per ipotesi induttiva possiamo sostituire in \(Y\) i primi \(r-1\) vettori con \(x_1,\dots,x_{r-1}\) ottenendo un nuovo generatore \(Y'\). Poiché \(Y'\) genera \(V\), scriviamo
Se tutti i \(\beta_j\) fossero nulli, avremmo \(x_r\in\operatorname{Span}(x_1,\dots,x_{r-1})\), in contrasto con l'indipendenza. Esiste quindi qualche \(\beta_{j_0}\ne0\): sostituendo \(y'_{j_0}\) con \(x_r\) otteniamo un generatore che contiene tutti gli \(x_i\), e in particolare \(r\le s\).
Teorema del completamento¶
Sia \(V\) uno spazio vettoriale su \(K\) con \(\dim V=n<\infty\) e sia \(L=\{v_1,\dots,v_k\}\subseteq V\) un insieme indipendente con \(k\le n\). Allora esistono vettori \(w_{k+1},\dots,w_n\in V\) tali che
è una base di \(V\).
Idea in una riga. Se \(L\) non genera ancora \(V\), scegli un vettore fuori dallo span e aggiungilo; l'indipendenza si conserva e il processo termina in al più \(n-k\) passi.
Dimostrazione.
Se \(\operatorname{Span}(L)=V\), l'insieme è già una base. Altrimenti scegli \(w_{k+1}\in V\setminus\operatorname{Span}(L)\). L'insieme \(\{v_1,\dots,v_k,w_{k+1}\}\) resta indipendente. Iteriamo: se \(\operatorname{Span}(v_1,\dots,v_k,w_{k+1},\dots,w_m)\ne V\), scegliamo \(w_{m+1}\) fuori dallo span attuale. Il processo deve terminare prima di ottenere più di \(n\) vettori totali, altrimenti esisterebbe un insieme indipendente con più di \(n\) elementi, impossibile per il lemma di scambio di Steinitz. Al termine otteniamo una base che contiene \(L\).
Versione duale¶
Se \(G=\{u_1,\dots,u_m\}\) genera \(V\) con \(m\ge n=\dim V\), allora esiste un sottoinsieme \(B\subseteq G\) di \(n\) elementi che è una base di \(V\).
Dimostrazione (per riduzione). Se \(G\) è indipendente con \(m=n\) è già una base. Se \(m>n\), esiste una relazione non banale \(\sum_{i=1}^m\lambda_i u_i=0\). Un \(u_j\) coinvolto nella relazione è combinazione degli altri e può essere rimosso senza perdere la proprietà di generare. Ripetendo l'operazione otteniamo un generatore minimale, che è necessariamente indipendente, quindi una base.
Corollari utili¶
- Cardinalità degli insiemi indipendenti. Ogni insieme indipendente ha al più \(n\) elementi.
- Cardinalità dei sistemi generatori. Ogni sistema generatore ha almeno \(n\) elementi.
- Unicità della dimensione. Qualunque base di \(V\) contiene esattamente \(n\) vettori.
Nota costruttiva (algoritmo di completamento)¶
Dato \(L=\{v_1,\dots,v_k\}\) indipendente:
- Poni \(W_0=\operatorname{Span}(L)\).
- Se \(W_0=V\) fermati. Altrimenti scegli \(w_{k+1}\in V\setminus W_0\) e poni \(W_1=\operatorname{Span}(W_0\cup\{w_{k+1}\})\).
- Ripeti: al passo \(t\), se \(W_t\ne V\) scegli \(w_{k+t+1}\notin W_t\).
La dimensione cresce di uno a ogni passo e dopo al più \(n-k\) iterazioni otteniamo una base.
Axio
Cerchi un modo per allenarti? Prendi due vettori nello spazio delle matrici \(2\times2\), completa l'insieme a una base e confronta il risultato con un amico!
Aggiornamenti
Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.