Teorema di Grassmann

Siano \(U\) e \(V\) sottospazi di uno spazio vettoriale \(W\) di dimensione finita. Allora vale la formula di Grassmann

\[ \dim(U+V) + \dim(U \cap V) = \dim U + \dim V. \]

Per un ripasso su somme e intersezioni di sottospazi, consulta la sezione sugli spazi vettoriali.

Dimostrazione

Sia \(\{w_1,\dots,w_r\}\) una base di \(U \cap V\). Completiamola a basi di \(U\) e \(V\):

\[ \{w_1,\dots,w_r,u_{r+1},\dots,u_m\} \text{ base di } U, \]

\[ \{w_1,\dots,w_r,v_{r+1},\dots,v_n\} \text{ base di } V. \]

Mostriamo che

\[ \mathcal B = \{w_1,\dots,w_r,u_{r+1},\dots,u_m,v_{r+1},\dots,v_n\} \]

è una base di \(U+V\).

1. Generazione. Ogni vettore di \(U+V\) si scrive come \(u+v\) con \(u\in U\), \(v\in V\). I vettori di \(U\) si esprimono tramite la base di \(U\), quelli di \(V\) tramite la base di \(V\): dunque \(\mathcal B\) genera \(U+V\).
2. Indipendenza. Supponiamo

\[ \sum_{i=1}^r \alpha_i w_i + \sum_{i=r+1}^m \beta_i u_i + \sum_{j=r+1}^n \gamma_j v_j = 0. \]

Separando le componenti in \(U\) e in \(V\) otteniamo

\[ \sum_{i=1}^r \alpha_i w_i + \sum_{i=r+1}^m \beta_i u_i = -\sum_{j=r+1}^n \gamma_j v_j \in U \cap V. \]

Ma i \(u_i\) con \(i>r\) sono fuori da \(U\cap V\), quindi \(\beta_i=0\) per \(i>r\). Analogamente \(\gamma_j=0\) per \(j>r\), e infine \(\alpha_i=0\) per l'indipendenza dei \(w_i\). Pertanto \(\mathcal B\) è indipendente.

La cardinalità di \(\mathcal B\) è \(m+n-r\) e coincide con \(\dim(U+V)\). Sostituendo \(r=\dim(U\cap V)\), \(m=\dim U\) e \(n=\dim V\) otteniamo la formula dichiarata.

Axio

Prova a verificare la formula con due sottospazi distinti del piano: quanto può valere l'intersezione?

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Aggiornamenti

Data: 2025-08-09
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