Basi¶
Studiamo le basi degli spazi vettoriali e come ogni vettore si rappresenta in modo unico.
Un insieme ordinato di vettori di \(V\) è una base se è linearmente indipendente e genera \(V\).
Teorema della rappresentazione unica¶
Se \(v_1,\dots,v_n\) sono indipendenti e
\[
x_1v_1+\dots+x_nv_n = y_1v_1+\dots+y_nv_n,
\]
allora \(x_i=y_i\) per ogni \(i\).
Dimostrazione¶
Sottraendo le due espressioni otteniamo
\[
(x_1-y_1)v_1+\dots+(x_n-y_n)v_n = 0.
\]
L'indipendenza dei \(v_i\) implica che tutti i coefficienti siano nulli, quindi \(x_i = y_i\) per ogni \(i\).
Axio
Ogni base rende i conti unici: controlla sempre l'indipendenza dei vettori!
Coordinate¶
Dato \(v\in V\), esistono unici scalari \(x_1,\dots,x_n\) tali che
\[
v = x_1v_1+\dots+x_nv_n.
\]
La \(n\)-upla \((x_1,\dots,x_n)\) sono le coordinate di \(v\) rispetto alla base.
Aggiornamenti
Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.