Skip to content

Definizione e Proprietà

Le applicazioni lineari collegano spazi vettoriali preservando la struttura lineare. In questa sezione raccogliamo le proprietà operative fondamentali.

Definizione di applicazione lineare

Un'applicazione \(F: V \to W\) è lineare se per ogni \(u, v \in V\) e \(c \in \mathbb{K}\) vale

\[ F(u+v)=F(u)+F(v), \qquad F(cv)=c\,F(v). \]

Da queste condizioni seguono immediatamente

\[ F\!\left(\sum_{i=1}^r a_i v_i\right)=\sum_{i=1}^r a_i F(v_i), \qquad F(0)=0, \qquad F(-v)=-F(v). \]

Esempi rapidi

  • Somma, prodotto per scalare e composizione di applicazioni lineari sono ancora lineari.
  • Funzionali lineari su \(\mathbb{K}^n\): \(L_A(x)=A\cdot x\) per \(A\in (\mathbb{K}^n)^*\).
  • Proiezioni: se \(E=W\oplus Z\), la proiezione \(P_W(w+z)=w\) soddisfa \(\ker P_W=Z\) e \(\operatorname{Im} P_W=W\).

Determinazione su una base

Sia \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) una base di \(V\). Per ogni \(w_1,\dots,w_n\in W\) esiste ed è unica un'applicazione lineare \(F\) tale che \(F(v_i)=w_i\). Se \(v=\sum_{i=1}^n x_i v_i\), allora

\[ F(v)=\sum_{i=1}^n x_i w_i. \]

Mappa delle coordinate

Data la base \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\), la mappa delle coordinate

\[ \Phi_B\!\left(\sum_{i=1}^n x_i v_i\right)=(x_1,\dots,x_n) \]

è un isomorfismo tra \(V\) e \(\mathbb{K}^n\).

Matrice associata a \(F\)

Scelte basi \(B\) di \(V\) e \(C\) di \(W\), la matrice \([F]_C^B\) ha colonne date dalle coordinate di \(F(v_j)\) in \(C\). Se \(X=[x]_B\), allora

\[ [F(x)]_C=[F]_C^B\,[x]_B. \]

Regole operative.

\[ [F+G]_C^B=[F]_C^B+[G]_C^B, \qquad [aF]_C^B=a\,[F]_C^B, \qquad [G\circ F]_D^B=[G]_D^C\,[F]_C^B. \]

Immagine e nucleo

Per \(F:V\to W\) lineare definiamo

\[ \ker F = \{v\in V : F(v)=0\}, \qquad \operatorname{Im} F = \{F(v) : v\in V\}. \]

Con la matrice \(A=[F]_C^B\) si ottiene \(\operatorname{Im} F = \operatorname{Span}\{\text{colonne di }A\}\) e \(\ker F=\{X\in \mathbb{K}^n : AX=0\}\). Il teorema rango–nullità afferma

\[ \dim V = \dim \ker F + \dim \operatorname{Im} F. \]

Iniettività e suriettività

  • \(F\) è iniettiva \(\Leftrightarrow\ \ker F=\{0\}\).
  • \(F\) è suriettiva \(\Leftrightarrow\ \dim \operatorname{Im} F = \dim W\).
  • Se \(\dim V = \dim W\), iniettività, suriettività e biiettività coincidono.

Esempi

  1. Funzionale su \(\mathbb{R}^3\). Per \(L(x,y,z)=3x-2y+z\), la matrice è \(A=[3\ -2\ 1]\) e
\[ \operatorname{Im} L = \mathbb{R}, \qquad \ker L = \{(x,y,z) : 3x-2y+z=0\}. \]
  1. Mappa coordinate. La mappa \(\Phi_B\) è un isomorfismo e la sua matrice rispetto a \(B\) ed alla base canonica di \(\mathbb{K}^n\) è \(I_n\).

  2. Proiezione. Se \(E=W\oplus Z\), la proiezione \(P_W\) verifica \(P_W^2=P_W\), con \(\ker P_W=Z\) e \(\operatorname{Im} P_W=W\).

Verificare la linearità

Un'applicazione \(T: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m\) definita da combinazioni lineari delle coordinate è lineare. Se compaiono prodotti tra variabili o termini non lineari come \(x^2\), \(xy\) o \(|x|\), in genere non è lineare.

Procedura pratica con Gauss

  1. Costruisci la matrice \(A=[F]_C^B\).
  2. Per \(\operatorname{Im} F\), riduci \(A\) per righe e prendi le colonne pivot originali.
  3. Per \(\ker F\), risolvi \(AX=0\) parametrizzando le variabili libere.
  4. Verifica che \(\dim \ker F + \dim \operatorname{Im} F = n\).

Axio

Ogni applicazione lineare ha il suo segreto: scopri come agisce sui vettori di una base!


Aggiornamenti

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Rimossi gli indent dei blocchi formula per il corretto rendering.