Definizione e Proprietà¶
Le applicazioni lineari collegano spazi vettoriali preservando la struttura lineare. In questa sezione raccogliamo le proprietà operative fondamentali.
Definizione di applicazione lineare¶
Un'applicazione \(F: V \to W\) è lineare se per ogni \(u, v \in V\) e \(c \in \mathbb{K}\) vale
Da queste condizioni seguono immediatamente
Esempi rapidi¶
- Somma, prodotto per scalare e composizione di applicazioni lineari sono ancora lineari.
- Funzionali lineari su \(\mathbb{K}^n\): \(L_A(x)=A\cdot x\) per \(A\in (\mathbb{K}^n)^*\).
- Proiezioni: se \(E=W\oplus Z\), la proiezione \(P_W(w+z)=w\) soddisfa \(\ker P_W=Z\) e \(\operatorname{Im} P_W=W\).
Determinazione su una base¶
Sia \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) una base di \(V\). Per ogni \(w_1,\dots,w_n\in W\) esiste ed è unica un'applicazione lineare \(F\) tale che \(F(v_i)=w_i\). Se \(v=\sum_{i=1}^n x_i v_i\), allora
Mappa delle coordinate¶
Data la base \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\), la mappa delle coordinate
è un isomorfismo tra \(V\) e \(\mathbb{K}^n\).
Matrice associata a \(F\)¶
Scelte basi \(B\) di \(V\) e \(C\) di \(W\), la matrice \([F]_C^B\) ha colonne date dalle coordinate di \(F(v_j)\) in \(C\). Se \(X=[x]_B\), allora
Regole operative.
Immagine e nucleo¶
Per \(F:V\to W\) lineare definiamo
Con la matrice \(A=[F]_C^B\) si ottiene \(\operatorname{Im} F = \operatorname{Span}\{\text{colonne di }A\}\) e \(\ker F=\{X\in \mathbb{K}^n : AX=0\}\). Il teorema rango–nullità afferma
Iniettività e suriettività¶
- \(F\) è iniettiva \(\Leftrightarrow\ \ker F=\{0\}\).
- \(F\) è suriettiva \(\Leftrightarrow\ \dim \operatorname{Im} F = \dim W\).
- Se \(\dim V = \dim W\), iniettività, suriettività e biiettività coincidono.
Esempi¶
- Funzionale su \(\mathbb{R}^3\). Per \(L(x,y,z)=3x-2y+z\), la matrice è \(A=[3\ -2\ 1]\) e
-
Mappa coordinate. La mappa \(\Phi_B\) è un isomorfismo e la sua matrice rispetto a \(B\) ed alla base canonica di \(\mathbb{K}^n\) è \(I_n\).
-
Proiezione. Se \(E=W\oplus Z\), la proiezione \(P_W\) verifica \(P_W^2=P_W\), con \(\ker P_W=Z\) e \(\operatorname{Im} P_W=W\).
Verificare la linearità¶
Un'applicazione \(T: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m\) definita da combinazioni lineari delle coordinate è lineare. Se compaiono prodotti tra variabili o termini non lineari come \(x^2\), \(xy\) o \(|x|\), in genere non è lineare.
Procedura pratica con Gauss¶
- Costruisci la matrice \(A=[F]_C^B\).
- Per \(\operatorname{Im} F\), riduci \(A\) per righe e prendi le colonne pivot originali.
- Per \(\ker F\), risolvi \(AX=0\) parametrizzando le variabili libere.
- Verifica che \(\dim \ker F + \dim \operatorname{Im} F = n\).
Axio
Ogni applicazione lineare ha il suo segreto: scopri come agisce sui vettori di una base!
Aggiornamenti
Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Rimossi gli indent dei blocchi formula per il corretto rendering.