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Applicazioni

Le applicazioni sono relazioni che associano a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Questa pagina funge da hub introduttivo alle applicazioni generali.

Indice

Notazioni comuni

  • \(f: S \to T\) indica che \(f\) è definita su \(S\) a valori in \(T\).
  • L'immagine di \(s \in S\) si scrive \(f(s)\).
  • \(S\) è il dominio di \(f\) e \(T\) il codominio.
  • L'insieme \(\{ f(s) \mid s \in S \} \subseteq T\) è l'immagine di \(f\).

Esempi

  1. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + 1\)

Dominio: \(\mathbb{R}\)

Codominio: \(\mathbb{R}\)

Immagine: \([1, +\infty)\)

  1. \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(g(x,y) = x + y\)

Dominio: \(\mathbb{R}^2\)

Codominio: \(\mathbb{R}\)

Immagine: \(\mathbb{R}\)

Composizione di applicazioni

Se \(f: S \to T\) e \(g: T \to U\), la composizione \(g \circ f: S \to U\) è definita da

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]

con proprietà:

  • associatività: \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)
  • esistenza dell'identità: \(\mathrm{Id}_S \circ f = f\) e \(f \circ \mathrm{Id}_T = f\)

Iniettività, suriettività, biiettività

  • \(f\) è iniettiva se \(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
  • \(f\) è suriettiva se \(\mathrm{Im}(f) = T\)
  • \(f\) è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Applicazione inversa

Se \(f: S \to T\) è biiettiva, esiste \(f^{-1}: T \to S\) tale che

\[ f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \]

Axio

Ogni funzione traccia un sentiero: segui l'immagine per scoprire dove ti porta!

Aggiornamenti

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Creata pagina indipendente per le applicazioni generali.