Esercizi sugli Spazi Vettoriali¶
Breve raccolta di esercizi per consolidare le nozioni sugli spazi vettoriali.
Axio
Sperimenta strategie diverse: ogni esercizio è un'opportunità per scoprire nuovi collegamenti.
Esercizio Dimostra che le seguenti terne di vettori in \(\mathbb{R}^4\) sono linearmente indipendenti:
\[
\left\{
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
3\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
0\\
4\\
-2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-1\\
-1
\end{pmatrix}
\right\},
\qquad
\left\{
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
-3\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
2\\
-2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
1\\
-7\\
-1
\end{pmatrix}
\right\}
\]
Soluzione
Prima terna.
Costruiamo la matrice \(A\) con i vettori come colonne:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1\\
3 & 4 & -1\\
1 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\]
Applichiamo il metodo di Gauss:
\[
\begin{aligned}
R_3 &\leftarrow R_3 - 3R_1,\\
R_4 &\leftarrow R_4 - R_1,\\
R_4 &\leftarrow R_4 - R_2,\\
R_4 &\leftarrow R_4 - 2R_3.
\end{aligned}
\]
Otteniamo tre pivot, quindi la terna è linearmente indipendente.
Seconda terna.
Costruiamo la matrice \(B\):
\[
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 3\\
1 & 0 & 1\\
-3 & 2 & -7\\
1 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\]
Applichiamo Gauss:
\[
\begin{aligned}
R_2 &\leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_1,\\
R_3 &\leftarrow R_3 + \tfrac{3}{2}R_1,\\
R_4 &\leftarrow R_4 - \tfrac{1}{2}R_1,\\
R_4 &\leftarrow R_4 + R_2,\\
R_4 &\leftarrow R_4 + R_3.
\end{aligned}
\]
Anche qui compaiono tre pivot, dunque la terna è linearmente indipendente.
Pertanto, entrambe le terne sono linearmente indipendenti.
Aggiornamenti
Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.