Esercizi su Basi e Dimensione

Breve raccolta di esercizi per mettere in pratica i concetti di basi e dimensione degli spazi vettoriali.

Axio

Ogni base è un trampolino: con la giusta motivazione puoi raggiungere qualsiasi dimensione!

Esercizio Verifica se i seguenti vettori di \(\mathbb{R}^3\) formano una base e determina la dimensione dello span che generano:

\[ v_1 = (1,0,1), \quad v_2 = (0,1,1), \quad v_3 = (1,1,2). \]

Soluzione

Metodo A (approccio elementare) Verifichiamo la dipendenza risolvendo la combinazione lineare

\[ c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0. \]

Questo porta al sistema

\[ \begin{cases} c_1 + c_3 = 0\\ c_2 + c_3 = 0\\ c_1 + c_2 + 2c_3 = 0 \end{cases} \]

Dalle prime due equazioni otteniamo \(c_1 = -c_3\) e \(c_2 = -c_3\). Sostituendo nella terza, essa risulta identicamente vera, quindi esistono soluzioni non banali. I vettori sono dunque linearmente dipendenti e lo spazio generato ha dimensione \(2\); una possibile base è \(\{v_1, v_2\}\).

Metodo B (argomenti avanzati) Costruiamo la matrice con i vettori come colonne:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Calcoliamo il determinante:

\[ \det(A) = 1(1\cdot2 - 1\cdot1) - 0 + 1(0\cdot1 - 1\cdot1) = 0. \]

Il determinante nullo indica che i vettori sono linearmente dipendenti. La dimensione dello spazio generato è quindi \(2\) e una possibile base è \(\{v_1, v_2\}\).

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Aggiornamenti

Data: 2024-07-20 Breve descrizione: Aggiunto Metodo A elementare e rinominata la soluzione esistente come Metodo B.