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Esercizi sulle Applicazioni Lineari e Matrici

Pagina con esercizi per praticare trasformazioni lineari e matrici associate.

Axio

Analizza passo dopo passo: ogni operazione elementare svela la struttura nascosta della matrice.

Obiettivo della tematica

Allenare al calcolo di rango, nucleo e immagine di trasformazioni lineari mediante rappresentazioni matriciali.

Metodo generale

Le soluzioni fanno uso di operazioni elementari di riga e colonna per studiare le proprietà della matrice associata.

Indice

Esercizio 1

Sia

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\ 0 & 1 & 3\\ 1 & k & 4 \end{pmatrix}, \qquad k\in\mathbb{R}. \]

Determina i valori di \(k\) per cui \(\operatorname{rank}(A)=3\) e quelli per cui \(\operatorname{rank}(A)<3\). Per i valori con \(\operatorname{rank}(A)<3\) trova una base del nucleo. Per tutti i valori di \(k\), individua una base dell'immagine.

Metodo 1 – Determinante

Il determinante di \(A\) è

\[ \det(A)=10-4k. \]

Se \(k\neq \tfrac{5}{2}\), il determinante è non nullo e quindi \(\operatorname{rank}(A)=3\). In questo caso l'applicazione associata è invertibile, il nucleo è banale e l'immagine coincide con \(\mathbb{R}^3\); una base dell'immagine è data dalle tre colonne di \(A\).

Per \(k=\tfrac{5}{2}\) il determinante si annulla e il rango scende a \(2\). Riducendo la matrice otteniamo

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \tfrac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

Ponendo \(x_3=t\), si ricava \(x_2=-3t\) e \(x_1=\tfrac{7}{2}t\). Una base del nucleo è quindi \(\{(7,-6,2)\}\). Le prime due colonne formano invece una base dell'immagine:

\[ \{(1,0,1),\ (2,1,\tfrac{5}{2})\}. \]

Metodo 2 – Riduzione di Gauss

Applichiamo le operazioni elementari in funzione di \(k\) senza calcolare il determinante.

\[ \begin{aligned} A &\xrightarrow{R_3-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & k-2 & 4-k \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-(k-2)R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 4-k-3(k-2) \end{pmatrix}\\[2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & k\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 10-4k \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

L'ultima riga è nulla solo per \(k=\tfrac{5}{2}\), caso in cui il rango è \(2\); altrimenti il rango è \(3\). Per \(k=\tfrac{5}{2}\), scegliendo \(x_3=t\) otteniamo \(x_2=-3t\) e \(x_1=\tfrac{7}{2}t\), quindi una base del nucleo è \(\{(7,-6,2)\}\) e una base dell'immagine è data dalle prime due colonne.

Axio chiede: sapresti costruire una trasformazione lineare diversa che abbia lo stesso nucleo?

Aggiornamenti

Data: 2025-08-09
Breve descrizione: Inizio tracciamento delle modifiche.