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Foglio 3

Terzo foglio di esercizi dedicato a matrici e sottospazi.

Axio ti avvisa

Questo foglio è una bozza: gli esercizi potrebbero essere rivisti e l'elenco non è completo.

Prerequisiti

Esercizio 1

Determinare la dimensione dello spazio

\[ W=\{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) : \mathrm{tr}(A)=0\}. \]

Soluzione

Axio ti suggerisce

Usa le matrici canoniche \(E_{ij}\) per organizzare le tue idee: sono una base naturale di \(M_{n\times n}(\mathbb{R})\).

  1. Le matrici canoniche \(E_{ij}\) (un \(1\) in \((i,j)\), zeri altrove) formano una base di \(M_{n\times n}(\mathbb{R})\).

  2. Se \(i\neq j\), la matrice \(E_{ij}\) ha diagonale nulla, quindi \(\mathrm{tr}(E_{ij})=0\). Vi sono \(n^{2}-n\) di queste matrici e appartengono tutte a \(W\).

  3. Le matrici diagonali sono combinazioni di \(E_{11},\dots,E_{nn}\). L'unico vincolo per essere in \(W\) è che la somma degli elementi diagonali sia zero, cioè

\[ a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=0. \]

Questo vincolo lineare riduce di uno i gradi di libertà: lo spazio delle diagonali a somma zero ha dimensione \(n-1\).

  1. Sommando i contributi otteniamo
\[ \dim W = (n^{2}-n)+(n-1)=n^{2}-1. \]
  1. Una base esplicita di \(W\) è data da tutte le \(E_{ij}\) con \(i\neq j\) insieme alle \(n-1\) matrici diagonali
\[ E_{11}-E_{nn},\;E_{22}-E_{nn},\;\dots,\;E_{n-1,n-1}-E_{nn}. \]

Esercizio 2

Nel vettoriale spazio \(\mathbb{R}^{3}\) siano

\[ v=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad w_{1}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix},\qquad w_{2}=\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}. \]

Siano \(W_{1}=L(v)\) e \(W_{2}=L(w_{1},w_{2})\). Calcolare:

  1. \(\dim W_{1}\) e \(\dim W_{2}\);
  2. \(\dim (W_{1}\cap W_{2})\);
  3. \(\dim (W_{1}+W_{2})\).

Soluzione

Axio ti domanda

Riesci a stabilire subito se \(v\) appartiene a \(W_{2}\)?

  1. Poiché \(v\neq 0\), \(\dim W_{1}=1\). I vettori \(w_{1},w_{2}\) sono L.I. perché l'unica soluzione di \(a w_{1}+b w_{2}=0\) è \(a=b=0\); quindi \(\dim W_{2}=2\).

  2. Cerchiamo \(c,a,b\in\mathbb{R}\) tali che \(c v = a w_{1}+b w_{2}\):

\[ \begin{cases} 3a+5b=c,\\ a+2b=0,\\ -\,a-3b=c. \end{cases} \]

Dalla seconda equazione otteniamo \(a=-2b\) e sostituendo ricaviamo \(c=-b\). Non essendo l'unica soluzione quella banale, \(W_{1}\cap W_{2}\) ha dimensione \(1\). In particolare \(v=2w_{1}-w_{2}\), quindi \(W_{1}\subseteq W_{2}\).

  1. Poiché \(W_{1}\subseteq W_{2}\), si ha \(W_{1}+W_{2}=W_{2}\) e \(\dim(W_{1}+W_{2})=2\). Equivalentemente, per la formula di Grassmann:
\[ \dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2})=1+2-1=2. \]

Esercizio 3

Siano

\[ W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+2y-3z=0\}, \qquad W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: -x+y+2z=0\}. \]

Calcolare \(\dim(W_{1}+W_{2})\).

Soluzione

Axio ti ricorda

La formula di Grassmann può semplificare i conti se conosci le dimensioni dei sottospazi e della loro intersezione.

  1. Dall'equazione di \(W_{1}\) si ricava \(x=-2y+3z\), quindi
\[ (x,y,z)=y(-2,1,0)+z(3,0,1) \]

e \(\dim W_{1}=2\).

  1. Dall'equazione di \(W_{2}\) si ricava \(y=x-2z\), quindi
\[ (x,y,z)=x(1,1,0)+z(0,-2,1) \]

e \(\dim W_{2}=2\).

  1. Risolvendo il sistema
\[ \begin{cases} x+2y-3z=0,\\ -x+y+2z=0, \end{cases} \]

si ottiene \(z=3y\) e \(x=7y\), per cui

\[ (x,y,z)=y(7,1,3) \]

e \(\dim(W_{1}\cap W_{2})=1\).

  1. Per la formula di Grassmann
\[ \dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2})=2+2-1=3. \]

Quindi \(W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}\).

Esercizio 4

Siano

\[ v_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\-1\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix},\qquad u_{1}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\\7\end{pmatrix},\quad u_{2}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}. \]

Sia \(W_{1}=\operatorname{span}(v_{1},v_{2})\) e \(W_{2}=\operatorname{span}(u_{1},u_{2})\). Calcolare:

  1. \(\dim W_{1}\) e \(\dim W_{2}\);
  2. \(W_{1}\cap W_{2}\);
  3. \(\dim(W_{1}+W_{2})\).

Soluzione

Axio ti incoraggia

Controlla l'intersezione prima di applicare la formula di Grassmann!

  1. Le coppie \(\{v_{1},v_{2}\}\) e \(\{u_{1},u_{2}\}\) sono l.i., quindi \(\dim W_{1}=\dim W_{2}=2\).

  2. Un vettore comune soddisfa

\[ a v_{1}+b v_{2}=c u_{1}+d u_{2}. \]

Il sistema associato è

\[ \begin{cases} a+b=d,\\ b=3c,\\ a+b=0,\\ -a+2b=7c+d. \end{cases} \]

Risolvendo si ottiene \(a=b=c=d=0\), per cui \(W_{1}\cap W_{2}=\{0\}\).

  1. Per la formula di Grassmann
\[ \dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2})=2+2-0=4, \]

dunque \(W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}\).

Esercizio 5

In \(P_{3}\) (polinomi reali di grado \(\le 3\)) siano

\[ W_{1}=\{p\in P_{3}: p(1)=0\},\qquad W_{2}=\{p\in P_{3}: p(2)=0\}. \]

Calcolare \(W_{1}+W_{2}\) e le dimensioni in gioco.

Soluzione

Axio ti provoca

Prova a risolvere l'esercizio con due strategie diverse: il punto di vista dei funzionali e quello dei coefficienti.

Metodo A — Funzionali lineari

  1. Le valutazioni \(\operatorname{ev}_{1}(p)=p(1)\) e \(\operatorname{ev}_{2}(p)=p(2)\) sono applicazioni lineari suriettive; dunque
\[ \dim W_{1}=\dim W_{2}=4-1=3. \]
  1. Consideriamo \(T:P_{3}\to\mathbb{R}^{2}\) definita da \(T(p)=(p(1),p(2))\). Poiché
\[ T(1)=(1,1),\qquad T(x)=(1,2) \]

sono vettori l.i. in \(\mathbb{R}^{2}\), \(\operatorname{rank}T=2\) e quindi

\[ \dim(W_{1}\cap W_{2})=4-2=2. \]
  1. Per la formula di Grassmann
\[ \dim(W_{1}+W_{2})=3+3-2=4. \]

Dato che \(\dim P_{3}=4\), si ottiene

\[ W_{1}+W_{2}=P_{3}. \]

Una base di \(W_{1}\cap W_{2}\) è \(\{(x-1)(x-2),\; x(x-1)(x-2)\}\).

Metodo B — Coefficienti

Identifichiamo \(p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\) con \((a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})\in\mathbb{R}^{4}\).

  1. Le condizioni \(p(1)=0\) e \(p(2)=0\) si traducono in
\[ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=0,\qquad a_{0}+2a_{1}+4a_{2}+8a_{3}=0, \]

da cui \(\dim W_{1}=\dim W_{2}=3\).

  1. Risolvendo il sistema con entrambe le equazioni otteniamo
\[ (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=s(2,-3,1,0)+t(6,-7,0,1), \]

e quindi \(\dim(W_{1}\cap W_{2})=2\).

  1. Ancora per Grassmann, \(\dim(W_{1}+W_{2})=4\), cioè l'intero \(P_{3}\).

Aggiornamenti

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Creato il foglio 3 con esercizio sulla dimensione delle matrici a traccia nulla.

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Aggiunto esercizio sulla somma di sottospazi.

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Aggiunto esercizio sulla dimensione di \(W_{1}+W_{2}\).

Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Aggiunto esercizio sulla somma di due sottospazi in \(\mathbb{R}^{4}\).

Data: 2025-08-10 Breve descrizione: Aggiunto esercizio sulla somma \(W_{1}+W_{2}\) in \(P_{3}\).