Esercizio 1 — Proiezioni ortogonali in \(\mathbb{R}^4\)¶
Per ripassare la teoria, consulta Prodotto Scalare e Ortonormalità.
Testo¶
In \(\mathbb{R}^4\) con prodotto scalare standard, sia
\[
W=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\},\quad
v_1=(1,1,0,0),\; v_2=(1,0,1,0),\; v_3=(1,0,0,1).
\]
- Trova una base ortonormale di \(W\) con Gram–Schmidt.
- Trova una base di \(W^{\perp}\) e la matrice \(P\) della proiezione ortogonale su \(W\).
- Calcola \(\mathrm{proj}_W(u)\) e la distanza \(\mathrm{dist}(u,W)\) per \(u=(1,2,0,1)\).
Soluzione¶
1. Base ortonormale di \(W\).
\[
u_1=v_1, \quad \|u_1\|^2=2, \quad e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0,0).
\]
\[
u_2=v_2-\frac{v_2\cdot u_1}{\|u_1\|^2}u_1
=v_2-\tfrac12(1,1,0,0)
=\Big(\tfrac12,-\tfrac12,1,0\Big), \quad \|u_2\|^2=\tfrac32, \quad e_2=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Big(\tfrac12,-\tfrac12,1,0\Big).
\]
\[
u_3=v_3-\frac{v_3\cdot u_1}{\|u_1\|^2}u_1-\frac{v_3\cdot u_2}{\|u_2\|^2}u_2
=(1,0,0,1)-\tfrac12(1,1,0,0)-\tfrac13\Big(\tfrac12,-\tfrac12,1,0\Big)
=\Big(\tfrac13,-\tfrac13,-\tfrac13,1\Big).
\]
\[
e_3=\sqrt{\tfrac{3}{4}}\Big(\tfrac13,-\tfrac13,-\tfrac13,1\Big)=\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{6},-\tfrac{\sqrt{3}}{6},-\tfrac{\sqrt{3}}{6},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
\]
Quindi \(\{e_1,e_2,e_3\}\) è una base ortonormale di \(W\).
2. Base di \(W^{\perp}\) e proiezione.
Le condizioni \(y\cdot v_i=0\) portano a
\[
W^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-1,-1,-1)\}.
\]
La proiezione ortogonale su \(W\) è
\[
P=I-\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
3. Proiezione e distanza di \(u=(1,2,0,1)\).
\[
u_{\perp}=-\tfrac12(1,-1,-1,-1), \quad \mathrm{proj}_W(u)=\Big(\tfrac32,\tfrac32,-\tfrac12,\tfrac12\Big), \quad \mathrm{dist}(u,W)=1.
\]
Axio
Controlla sempre le componenti ortogonali: sono la chiave per non sbagliare!
Aggiornamenti
Data: 2025-08-09 Breve descrizione: Pubblicato l'esercizio sulle proiezioni ortogonali in \(\mathbb{R}^4\).