Sia una matrice e un’altra matrice delle stesse dimensioni, con elementi in un campo .
Somma e differenza
Definite solo se hanno la stessa dimensione .
A+B = (a_{ij}+b_{ij}), \qquad A-B = (a_{ij}-b_{ij}). $$ La somma di matrici corrisponde alla somma delle immagini nelle [[Applicazioni Lineari|applicazioni lineari]] rappresentate. --- ## Prodotto per scalare Per $\lambda \in \mathbb{K}$:\lambda A = (\lambda a_{ij}).
--- ## Prodotto tra matrici Siano $A$ di dimensione $m\times n$ e $B$ di dimensione $n\times p$. Il prodotto $AB$ è la matrice $m\times p$ definita da(AB){ij} = \sum{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
Interpretazione: il prodotto corrisponde alla **composizione** delle applicazioni lineari rappresentate da $A$ e $B$. --- ## Trasposta Per $A=(a_{ij})\in \mathbb{K}^{m\times n}$, la **trasposta** èA^T = (a_{ji}) \in \mathbb{K}^{n\times m}.
Proprietà: - $(A^T)^T = A$ - $(A+B)^T = A^T + B^T$ - $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ - $(AB)^T = B^T A^T$ --- ## Matrice identità Per ogni $n$, la matrice identità $I_n$ è quadrata con $1$ sulla diagonale e $0$ altrove. È l’elemento neutro del prodotto:AI_n = A, \quad I_m A = A.
--- ## Collegamenti - La nozione di [[Rango di una Matrice|rango]] nasce dal prodotto e dalla riduzione a scala. - La [[Matrice di un’Applicazione Lineare|rappresentazione delle applicazioni lineari]] usa direttamente queste operazioni.