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Geometria I, molto spesso semplificato come Geometria 1, è uno dei cinque corsi del primo anno della triennale di Matematica presso l’Università degli Studi di Firenze, insieme a Algebra I, Analisi I, Fisica I e Informatica.
Descrizione del corso
Il corso è annuale ed ha 15 CFU, rendendolo il primo corso con più CFU insieme ad Analisi Matematica I. Il corso prevede lo studio di 3 macro aree della Geometria:
- Algebra Lineare (Applicazioni lineari, kernel, immagine, matrici, determinanti, forme canoniche)
- Geometria Metrica (Forme Bilineari, Spazi duali, Prodotti scalari)
- Geometria Proiettiva (Coniche)
Modalità d’Esame
Analogamente a tutti i corsi del primo anno, Geometria I prevede un esame scritto e un esame orale per il superamento del corso. Sono presenti 6 appelli annuali per sostenere l’esame, distribuiti durante le sessioni estive (3), autunnali (2) e invernali (1). La valutazione minima per il superamento è 18 trentesimi. Per poter accedere all’esame orale occorre aver superato l’esame scritto.
Esami parziali
Un metodo alternativo che molto spesso i docenti del corso offrono è la possibilità di sostenere due esami “parziali”, ovvero delle riduzioni parziali del programma. La valutazione minima è inferiore rispetto a 18 trentesimi e varia ogni anno accademico. Il superamento di entrambe le prove parziali porta direttamente lo studente ad affrontare la prova orale. Tuttavia, se un parziale non viene superato, occorre sostenere la prova scritta. Quest’ultima si affronta anche se non si supera, con la media delle due prove parziali, la valutazione di 18 trentesimi.
Indice Contenuti del Corso
Nota. Gli argomenti qui proposti sono quasi completi, ma necessitano di revisione.
Capitolo 1: Spazi Vettoriali e Combinazioni Lineari
- Spazi Vettoriali
- Combinazioni Lineari
- Dipendenza e Indipendenza Lineare
- Teorema della rappresentazione unica dello span
Capitolo 2: Basi e Dimensioni
- Basi e Dimensione
- Coordinate rispetto a una base
- Lemma di Steinitz
- Teorema di Esistenza delle Basi
- Teorema del Completamento
- Formula di Grassman
Capitolo 3: Matrici e Sistemi Lineari
- Matrici
- Operazioni con le Matrici
- Sistemi Lineari
- Riduzione a Scala
- Rango di una Matrice
- Teorema di Rouché-Capelli
Capitolo 4: Determinanti
Capitolo 5: Applicazioni Lineari e Matrici
- Applicazioni Lineari
- Nucleo e Immagine
- Teorema Dimensione-Rango
- Matrice di un’Applicazione Lineare
- Rappresentazione di un’applicazione lineare
- Cambi di base
- Cambiamento di Base e Matrici Simili
Capitolo 6: Autovalori, Autovettori e Diagonalizzazione
- Autovalori e Autovettori
- Polinomio Caratteristico
- Molteplicità Algebrica e Geometrica
- Diagonalizzazione
Capitolo 7: Prodotti Scalari e Spazi Euclidei
- Prodotti Scalari e Ortonormalità
- Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz
- Disuguaglianza Triangolare
- Basi Ortonormali
- Esistenza di basi ortogonali ed estensione
- Completamento ortogonale
Capitolo 8: Operatori Ortogonali e Teorema Spettrale
Capitolo 9: Forme Bilineari e Spazi Duali
- Forme Bilineari
- Basi Ortogonali Generali
- Teorema di Sylvester
- Spazio Duale
- Base duale
- Applicazione Duale
- Annullatore di un Sottospazio
- Doppio Duale e Isomorfismo Canonico
Capitolo 10: Forma Canonica di Jordan
Capitolo 11: Geometria Proiettiva
[DA FARE]
Registro delle modifiche
Qui verranno messe tutte le modifiche fatte ai file di questo corso. Changelog